题目

已知函数 ． （1） 若 ， 求函数的单调递增区间； （2） （ⅰ）若是函数的极大值点，记函数的极小值为 ， 求证：；（ⅱ）若在区间上有两个极值点 ． 求证： ． （提示：）． 答案： 解：a=1，f′(x)=2(x−1)(x−3)x(x>0)，令f′(x)>0，则0<x<1或x>3，所以f(x)的单调递增区间为(0，1)和(3，+∞) 证明：（ⅰ）f′(x)=2(x−a)(x−3)x(x>0)，因为x=3是函数f(x)的极大值点，所以a>3，函数f(x)的极小值为f(a)=g(a)=6alna−a2−6a(a>3)，令φ(a)=g(a)+2a−7=6alna−a2−4a−7(a>3)，则φ′(a)=6lna−2a+2，令m(x)=6lna−2a+2(a>3)，则m′(x)=6a−2<0(a>3)，所以函数m(a)在(3，+∞)上递减，即函数φ′(a)在(3，+∞)上递减，又因φ′(3)=6ln3−4>0，φ′(7)=6(ln7−2)<0，故存在a0∈(3，7)，使得φ′(a0)=0，当3<a<a0时，φ′(a)>0，当a>a0时，φ′(a)<0，所以函数φ(a)在(3，a0)上递增，在(a0，+∞)上递减，所以φ(a)max=φ(a0)，由φ′(a0)=0，得6lna0−2a0+2=0，得φ(a0)=6a0lna0−a02−4a0−7=a0(2a0−2)−a02−4a0−7=(a0+1)(a0−7)<0，所以g(a)<7−2a；（ⅱ）h(x)=x2−(2a+5)x+6alnx，h′(x)=2x2−(2a+5)x+6ax(x>0)，因为h(x)=f(x)+x在区间(0，+∞)上有两个极值点x1，x2(x1<x2)，所以h(x)在(0，x1)递增，在(x1，x2)递减，在(x2，+∞)递增，即x1+x2=a+52>0，x1x2=3a>0，且Δ=4a2−28a+25>0，解得0<a<3.5−6，或a>3.5+6，当0<a<3.5−6时，h(x2)<h(x1+x2)=h(2.5+a)<h(6−6)<h(4)=2a(3ln4−4)−4<2a(133−4)−4<2a3−4<0；当a>3.5+6时，2a=2x22−5x2x2−3，x2>x1+x22=a2+54>5.52+54=4，h(x2)=x22−5x2+(3lnx2−x2)2x22−5x2x2−3，因为x2>4，要证h(x2)<0，只需证u(x2)=(x2−5)(x2−3)2x2−5+3lnx2−x2<0，而u′(x2)=−(x2−5)(2x22−12x2+15)x2(2x2−5)2，当x2∈(4，3+62)∪(5，+∞)时，u′(x2)<0，当x2∈(3+62，5)时，u′(x2)>0，所以u(x2)在(4，3+62)递减，在(3+62，5)递增，在(5，+∞)递减，又因为u(4)=3(ln4−139)<0，u(5)=3ln5−5<0，所以当x2>4时，u(x2)<0，所以h(x2)<0．

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