题目

已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l： 对称． （1） 求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上； （2） 求二次函数解析式； （3） 过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值． 答案： 解：依题意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0）， 两边都除以a得：即x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），答：A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）证明：∵直线l： y=33x+3 ，当x=﹣3时， y=33×(−3)+3=0 ，∴点A在直线l上 解：∵点H、B关于过A点的直线l： y=33x+3 对称， ∴AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，则 AC=12AB=2 ， HC=23 ，∴顶点 H(−1，23) ，代入二次函数解析式，解得 a=32 ，∴二次函数解析式为 y=32x2−3x+332 ，答：二次函数解析式为 y=32x2−3x+332 解：直线AH的解析式为 y=3x+3 ， 直线BK的解析式为 y=3x−3 ，由 {y=33x+3y=3x−3 ，解得 {x=3y=23 ，即 K(3，23) ，则BK=4，∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2 3 ），∴HN+MN的最小值是MB，过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则QM=MK， QE=EK=23 ，AE⊥QK，∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，∵BK∥AH，∴∠BKQ=∠HEQ=90°，由勾股定理得QB= BK2+QK2 = 42+(23+23)2 =8，∴HN+NM+MK的最小值为8，答：HN+NM+MK和的最小值是8．

查看本题答案和解析