题目

已知数列 满足 ． （1） 当 时，求数列 的前 项和 ； （2） 若对任意 都有 成立，求a1的取值范围． 答案： 解：由 an+1+an=4n+3(n∈N*) 得 an+2+an+1=4n+7 ，两式相减，得 an+2−an=4 ． 故数列 {a2n−1} 是首项为 a1 ，公差为4的等差数列．数列 {a2n} 是首项为 ，公差为4的等差数列， 由 a2+a1=7,a1=2,得a2=5, 所以 an={2n,n为奇数2n+1,n为偶数. ①当 n 为奇数时， an=2n, Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+⋯+(an−2+an−1)+an =7+15+⋯+(4n−5)+2n=n−12×(4n−5+7)2+2n=2n2+3n−12 ②当 n 为偶数时， an=2n+1, Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+⋯+(an−1+an)=7+15+⋯+(4n−1)=2n2+3n2 解：由（1）知， an={2n−2+a1,n为奇数2n+3−a1,n为偶数 ①当 为奇数时， an=2n−2+a1,an+1=2n+5−a1. 由 an2+an+12an+an+1≥4得2a12−14a1≥−8n2+4n−17. 令 f(n)=−8n2+4n−17=−8(n−14)2−332, ∴f(n)max=f(1)=−21,∴2a12−14a1≥−21. 解得 a≥7+72或a≤7−72. ②当 为偶数时， an=2n+3−a1,an+1=2n+a1. 由 an2+an+12an+an+1≥4得2a12−6a1≥−8n2+4n+3. 令 g(n)=−8n2+4n+3=−8(n+14)2+72, ∴g(n)max=g(2)=−21,∴2a12−6a1≥−21  解得 a1∈R 综上， a1 的取值范围是 (−∞,7−72]∪[7+72,+∞).

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