题目

已知函数 在 处取得极值． （1） 求m的值； （2） 若过 可作曲线 的三条切线，求t的取值范围． 答案： 解：因为 f(x)=−16x3−x2+m+3 ，所以 f′(x)=−12x2−2x+m ， 因为 f(x) 在 x=0 处取得极值，所以 f′(0)=m=0 ． 经验证 m=0 符合题意 解：设切点坐标为 (x0,−16x03−x02+3) ， 由 f(x)=−16x3−x2+3 ，得 f′(x0)=−12x02−2x0 ， 所以方程为 y−(−16x03−x02+3)=(−12x02−2x0)(x−x0) ， 将 (2,t) 代入切线方程，得 t=13x03−4x0+3 ． 令 g(x)=x33−4x+3 ，则 g′(x)=x2−4 ， 则 g′(x)=x2−4=0 ，解得 x=±2 ． 当 x<−2 或 x>2 时， g′(x)>0 ， 所以 g(x) 在 (−∞,−2) ， (2,+∞) 上单调递增； 当 −2<x<2 时， g′(x)<0 ， 所以 g(x) 在 (−2,2) 上单调递减． 所以 g(x) 的极大值为 g(−2)=253 ， g(x) 的极小值为 g(2)=−73 ． 因为有三条切线，所以方程 t=g(x) 有三个不同的解， y=t 与 y=g(x) 的图象有三个不同的交点， 所以 −73<t<253

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