题目

如图，已知抛物线 ，直线 交抛物线于 两点， 是抛物线外一点，连接 分别交地物线于点 ，且 . （1） 若 ，求点 的轨迹方程. （2） 若 ，且 平行x轴，求 面积. 答案： 解：解法1： ∵CD∥AB ，设 ，PD→=λDB→，A(x1，y1)B(x2，y2)，P(x0，y0) ， 则 PC→=(xC−x0，yC−y0)，CA→=(x1−xC，y1−yC) ，由 PC→=λCA→ 可得 xC−x0=λ(x1−xC) ，故 xC=x0+λx11+λ ，同理 yC=y0+λ4x121+λ ， 故 C(x0+λx11+λ，y0+λ4x121+λ) ，代入抛物线得： (x0+λx11+λ)2=4⋅y0+λ4x121+λ ， 化简得： λx12−2x0λx1+4(1+λ)y0−x02=0 ， 同理得： λx22−2x0λx2+4(1+λ)y0−x02=0 ， 所以 x1，x2 为方程 λx2−2x0λx+4(1+λ)y0−x02=0 的两根， 又由 {y=kx+1x2=4y⇒x2−4kx−4=0，∴{x1+x2=4kx1⋅x2=−4 ， 将 k=1 代入 x1+x2=2x0=4k=4，∴x0=2 且 x1x2=4(1+λ)y0−x02λ=−4 ①， 将 x0=2 代入①，得 y0=4−4λ4(1+λ)=1−λ1+λ=−1+21+λ(λ>0) ，故 y0∈(−1，1) . 故点P的轨迹方程为 x=2(−1<y<1) . 解法2：同解法1知 x1+x2=4 kCD=yD−ycxD−xC=xD+xC4=kAB=1，∴xC+xD=4 ， 设线段 AB，CD 的中点分别为 M，N ，易知 M，N，P 三点共线， ∴MN→=μMP→ （ μ 为实数），所以 x0=xM=xN=2 . 以下同解法1 解：由 x1，x2 为方程 λx2−2x0λx+4(1+λ)y0−x02=0 的两根， 可得： x1+x2=2x0=4k，∴x0=2k . 由（1）得 x1x2=4(1+λ)y0−x02λ=−4 ，因为 PC¯=2CA¯ ，所以 λ=2 ，故 y0=k23−23 . ∵AC∥x 轴且 A，C 在抛物线上，∴ A，C 关于 y 轴对称. ∵xC=x0+λx11+λ=2k+2x13 ， ∴2k+2x13=−x1 及 x1=−2k5 ， ∴C(2k5，k23−23) 且 x2=22k5 . ∵ C 在抛物线上， ∴(2k5)2=4(k23−23) ，解得 k2=2511 . 设 AB 的中点为 M ，则 yM=12⋅(x12+x224)=12⋅(x1+x2)2−2x1x24=2k2+1 ， 所以 |y2−y0|=|2yM−2y0|=103(k2+1) ， 而 SΔPAB=12|x1−x0|⋅|y2−y0|=12⋅|12k5|×103(k2+1)=72011121

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