题目

已知：在中，是边上的中线，点是的中点；过点作 ， 交的延长线于 ， 连接. （1） 求证：四边形是平行四边形； （2） 当分别满足什么条件时，四边形是菱形；四边形是矩形，并说明理由. 答案： 证明：∵AF//BC，∴∠AFE=∠EBD，在ΔAEF和ΔDEB中∵{∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE∴ΔAEF≅ΔDEB(AAS)，∴AF=BD，∴AF=DC，又∵AF//BC，∴四边形ADCF为平行四边形； 解：①当AB=AC时，四边形ADCF是矩形；由（1）可知，AF=BD=CD，AF//BC，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AB=DF，∴AB=AC=DF，∴平行四边形ADCF是矩形；②当∠BAC=90°，四边形ADCF是菱形；由①可知，四边形ABDF是平行四边形，∴AB∥DF，∵∠BAC=90°，即AB⊥AC，∴DF⊥AC，∴平行四边形ADCF是菱形.

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