题目

如图已知 ， 于点C， 于点D交HG于点K. ， ， . （1） 若 ，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长； （2） 若 ，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求 的最小值. 答案： 解：如图1中，连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于N，交EF于M，连接AM，BM.设DM=x. 在Rt△ACM中，AM2=AC2+CM2=32+（6-x）2， 在Rt△BDM中，BM2=DM2+BD2=x2+62， ∵AM=MB， ∴32+（6-x）2=x2+62， 解得x= 34 ， ∴CM=CD-MD=6- 34 = 214 . 解：如图2中，如图，作点A故直线GH 的对称点A′，点B关于直线EF的对称点B′，连接A′B′交GH于点P，交EF于点Q，作B′H⊥CA交CA的延长线于H. 则此时AP+PQ+QB的值最小. 根据对称的性质可知：PA=PA′，QB=QB′， ∴PA+PQ+QB=PA′+PQ+QB′=A′B′， ∴PA+PQ+PB的最小值为线段A′B′的长， 在Rt△A′B′H中，∵HB′=CD= 132 ， HA′=DB′+CA′=7+6=13， ∴A′B′= HA'2+B'H2=132+(132)2=1325 ， ∴AP+PQ+QB的最小值为 1325 .

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