题目

如图1，在菱形ABCD中， ， ， 于点N，点P是边AD上的一个动点，连结CP，过点P作 ， 交直线AB于点Q. （1） 求CN的长. （2） 当点P在DN上运动且满足时，求DP的长. （3） 如图2，若点E为边AB的中点，将△CDP沿CP翻折得F到△CFP，连结EF，AF，DF，△AEF的面积有可能为1吗？如果可能，求出DF的长；如果不可能，请说明理由. 答案： 解：如图1，在菱形ABCD中，有∠D=∠B，CD=AB=5.∵sin∠ABC=45，∴在Rt△CDN中，CN=CD⋅sin∠D=5×45=4.∴CN=4. 解：过点Q作QF⊥AD于点F.∵CN⊥AD，∴∠QFP=∠PNC=90°.∴∠1+∠2=90°，∵CP⊥PQ，∴∠1+∠3=90°.∴∠2=∠3，∴△CPN∽△PQF∴CPPQ=CNPF=PNQF=43即4PF=PNQF=43，∴PF=3，设PN=4x，QF=3x，则AQ=QFsin∠QAF=3x45=154x，AF=AQ2−QF2=94x.Rt△CDN中，由CD=5，CN=4得DN=3，∴DP=DN−PN=3−4x∵AD=AB=5，即AF+PF+DP=5∴94x+3+3−4x=5，解得x=4.7.∴DP=3−4×47=57. 解：①如图2，当CF与AD相交时，过点F作FM⊥AB于点M，并反向延长交CD于点N，则FN⊥CD.∵点E是AB的中点.∴AE=12AB=52.∵SΔABF=12AE⋅FM=1，∴FM=45.∵由（1）知MN=4，∴FN=MN−FM=4−45=165，∵由折叠可知CF=CD=5，∴CN=CF2−FN2=3541，∴DN=CD−CN=5−3541∴DF=FN2+DN2=50−641=41−3②如图3，当CF与AB相交，且∠AEF小于90°时，∵同理可得FM=45，MN=4，∴FN=FM+MN=45+4=245.∴CN=CF2−CN2=75.∴DN=CD−CN=5−75=185.∴DF=FN2+DN2=6.③如图4，当CF与AB相交∠AFF>90°时，∵同理可得FN=245，CN=75，∴DN=CD+CN=5+75=325.∴DF=FN2+DN2=8.综上所述，DF的长为41−3，6，8.

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