题目

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°． （1） 求证：BC是⊙O的切线； （2） 若AC=3，求⊙O的半径r； （3） 在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由． 答案： 解：如图1，连接OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA，∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°，∴∠BOE=∠BAE+∠OEA=60°，在△BOE中，∠B=30°，∴∠OEB=180°-∠B-∠BOE=90°，∴OE⊥BC，∵点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线 解：如图2，∵∠B=∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°，在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC= ACAE ，∴AE= ACsin∠AEC=3sin60°=23 ，连接DE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE= AEAD ，∴AD= AEcos∠BAE=23cos30°=4 ，∴⊙O的半径r= 12 AD=2 解：以A、O、E、F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3，在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，连接OF，∴OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，连接EF，OE，∴OE=OF，∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=60°，∵OE=OF，∴△OEF是等边三角形，∴OE=EF，∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四边形OAFE是菱形

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