题目

如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（－1，0），（5，0），（0，2）（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式．（2）若点P从Ａ点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为ｔ秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S．①求S与ｔ的函数关系式．②当ｔ是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由． 答案：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax-5x+1把（0，2）代入解析式得2=-5a ∴a=-25 ∴y=-25x+1x-5，y=-25x2+85x+2　（2）过点F作FD⊥x轴于D①当点P在原点左侧时，BP=6－t， OP=1－t在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°∵∠FPD+∠CPO=90°∴∠PCO=∠FPD∵∠POC=∠FDP∴△CPO∽△PFD∴FDPO=PFPC∵PF=PE=2PC∴FD=2PO=2（1－t）∴S= 12BP×DF=t2－7t+6 (0≤t≤1)=(t－3.5)2－6.25∵1＞0∴t≤3.5 时， s随着t增大而减小而0≤t≤1∴当t=0时S最大=6②当点P在原点右侧时，OP=t－1， BP=6－t∴S△PBF=－t2+7t-6=－(t－3.5)2 +6.25 (1≤t≤6)∵－1＞0∴t＝3.5 时， S最大=6.25＞6∴当t=3.5时，△PFB面积最大，最大面积为6.25.（3）能t=2或t= 1+52时，△PFB是直角三角形F点坐标为（5，2）或者是（5+72，5-1）

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