题目

如图，在 中，点E在AB上， ，ED和AC相交于点F，过点F作 ，交AD于点G. （1） 求 的值. （2） 若 ， ①求证： . ②求证： . 答案： 解：∵ ▱ABCD ∴ AB//CD ∴ ∠EAF=∠DCF ∵ ∠AFE=∠CFD ∴ △AFE∽△CFD ∴ EFFD=AECD=AFFC ∵ AE=13AB ， AB=CD ∴ EFFD=AECD=AEAB=13 ，即 FD=3EF ∵ FG//AB ∴ ∠AED=∠GFD ∵ ∠ADE=∠GDF ∴ △ADE∽△GDF ∴ FGAE=FDED=FDEF+FD=3EFEF+3EF=34 ，即 FG:AE=3:4 解：①设 AC=2a ∵ AB:AC=3:2 ∴ AB=3a ∴ AE=33a 由（1）的结论，得： AECD=EFFD=AFFC=13 ∴ AF=14AC=a2 ∴ AE⋅AB=a2=AF⋅AC 即： AEAC=AFAB ∵ ∠EAF=∠CAB ∴ △EAF∽△CAB ∴ ∠AEF=∠ACB ②∵ GF//AB ∴ ∠DFG=∠DEA ∵ △EAF∽△CAB ∴ ∠AEF=∠ACB ∵ AD//AC  ∴ ∠ACB=∠FAD ∴ ∠DFG=∠FAD ∵ ∠FDG=∠ADF ∴ △DFG∽△DAF ∴ DFDA=DGDF ∴ DF2=DG⋅DA .

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