题目

（阅读理解）设点 在矩形 内部，当点 到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点 为该边的“和谐点”.例如：如图1，矩形 中，若 ，则称 为边 的“和谐点”. （解题运用）已知，点 在矩形 内部，且 ， . （1） 设 是边 的“和谐点”，则   ▲  边 的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接 ， ，求 的值. （2） 若 是边 的“和谐点”，连接 ， ，当 时，求 的值； （3） 如图2，若 是边 的“和谐点”，连接 ； ， ，求 的最大值. 答案： 解：是；过点P作PE⊥AD于E，延长EP交BC于G，作PF⊥AB于F， ∵ P 是边 AD 的“和谐点”， ∴EG为AD的垂直平分线， ∴PF=4，PG=10-PE， ∵ S四边形APCB=4S△APD ， ∴ 12AB⋅PF+12BC⋅PG=4×12AD⋅PE ，即20+4（10-PE）=16PE， 解得：PE=3， ∴PA= PE2+AE2 = 32+42=5 解：如图2，过点 P 作 PE⊥AD 于 E ， PF⊥AB 于 F ， ∴ AE=12AD ， ∠PEA=∠PFA=90° ， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠BAD=90° ， BC=AD=8 ， ∴四边形 AEPF 是矩形， AE=4 ， ∴ AE=PF=4 ， ∵ ∠APB=90° ，且 P 在矩形内部， ∴ ∠APF+∠BPF=90° ， ∵ PF⊥AB ， ∴ ∠AFP=∠PFB=90° ， ∴ ∠APF+∠PAF=90° ， ∴ ∠PAF=∠BPF ， ∴ △APF∼△PBF ， ∴ AF：PF=PF：BF ， ∴ PF2=AF⋅BF ， ∴ PF2=AF(AB−AF) ， 设 AF=x ，则 BF=10−x ， ∴ x(10−x)=42 ， 解得： x=2 或 x=8 ， 当 AF=2 时， PA=AF2+PF2=22+42=25 ， 当 AF=8 时， PA=AF2+PF2=82+42=45 ， ∴ PA 的值为 25 或 45 . 解：如图3，过点 P 作 PN⊥AB 于 N ， 由（2）知：点 P 在 AD 和 BC 的垂直平分线上， ∴ PN=12BC=4 ， ∵ tan∠PAB=PNAN ， tan∠PBA=PNBN ， ∴ tan∠PAB⋅tan∠PBA=PNAN⋅PNBN=PN2AN⋅BN=16AN⋅BN ， ∴ 1tan∠PAB⋅tan∠PBA=AN⋅BN16 ， 设 AN=x ，则 BN=10−x ， ∴ AN⋅BN=x(10−x)=−x2+10x=−(x−5)2+25 ， 当 x=5 时， AN⋅BN 有最大值25， ∴ AN⋅BN16 有最大值 2516 ， ∴当 x=5 时， 1tan∠PAB⋅tan∠PBA 的最大值是 2516 .

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