题目

根据所学知识完成题目： （1） 开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即 =k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太 ． （2） 开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．经测定月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地 ． （G=6.67×10﹣11 N•m2/kg2 ， 结果保留一位有效数字） 答案： 解：因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r．根据万有引力定律和牛顿第二定律有     G M太m行r2 =m行（ 2πT ）2r                ①于是有 r3T2 = G4π2 M太②即          k= G4π2 M太③答：太阳系中该常量k的表达式k= G4π2 M太； 在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得 R3T2 = G4π2 M地④ 解得      M地=6×1024kg    答：计算地球的质量为6×1024kg．

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