题目

已知函数（常数）. （Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）当时，求的最小值. 答案：解：（Ⅰ）当 a=0 时， f(x)=log3x⋅(log3x−2) ，由 f(x)≤0 得 f(x)=log3x⋅(log3x−2)≤0 ，即： 0≤log3x≤2，log31≤log3x≤log39 ，解得： 1≤x≤9 ，所以 f(x)≤0 的解集为 {x|1≤x≤9} . （Ⅱ） f(x)=log3(3ax)⋅log3x9=(log33a+log3x)⋅(log3x−log39) ， =(log3x+a)⋅(log3x−2) ， =(log3x)2+(a−2)⋅log3x−2a . 令 u=log3x ，因为 x∈[19，27] ，所以 u∈[−2，3] ，若求 f(x) 在 x∈[19，27] 上的最小值，即求函数 g(u)=u2+(a−2)⋅u−2a 在 u∈[−2，3] 上的最小值， g(u)=(u+a−22)2−(a+2)24 ， u∈[−2，3] ，对称轴为 x=2−a2 . ①当 x=2−a2≥3 时，即 a≤−4 时，函数 g(u) 在 [−2，3] 为减函数，所以 g(u)min=g(3)=a+3 ； ②当 −2<2−a2<3 时，即 −4<a<6 时，函数 g(u) 在 [−2，3−a2] 为减函数，在 [3−a2，3] 为增函数，所以 g(u)min=g(2−a2)=−(a+2)24 ； ③当 x=2−a2≤−2 ，即 a≥6 时，函数 g(u) 在 [−2，3] 为增函数，所以 g(u)min=g(−2)=8−4a . 综上，当 a≤−4 时， f(x) 的最小值为 a+3 ；当 −4<a<6 时， f(x) 的最小值为 −(a+2)24 ；当 a≥6 时， f(x) 的最小值为 8−4a .

数学试题推荐

数学试卷推荐