题目

已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a，c∈R）满足条件f（1）=0，且对任意实数x都有f（x）≥0．（1）求a、c的值：（2）是否存在实数m，使函数g（x）=4f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）当a=0时，f（x）=﹣12x+c，由f（1）=0得﹣12+c=0，即c=12，∴f（x）=﹣12x+12，显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件f（x）≥0，∴a≠0，因而函数f（x）=ax2﹣12x+c是二次函数，由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，由二次函数的性质可得a>014-4ac≤0，即a>0ac≥116，由此可知 a＞0，c＞0，∴ac≤（a+c2）2，由f（1）=0，得a+c=12，代入上式得ac≤116．但前面已推得ac≥116，∴ac=116，综上解得a=c=14，∴f（x）的解析式为f（x）=14x2﹣12x+14；（2）由题意g（x）=4f（x）﹣mx=x2﹣2x+1﹣mx=x2﹣（m+2）x+1，该函数图象开口向上，且对称轴为x=12m+1，假设存在实数m使函数g（x）=4f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．①当m＞2时，12m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，∴g（m）=﹣5，即m2﹣（m+2）m+1=﹣5，解得m=3；②当﹣2≤m≤2时，m≤12m+1＜m+2，函数g（x）在区间[m，12m+1]上是递减的，而在区间[12m+1，m+2]上递增，∴g（12m+1）=﹣5，即（12m+1）2﹣（m+2）（12m+1）+1=﹣5，解得m=﹣2±26，与﹣2≤m≤2矛盾，都舍去；③当m＜﹣2时，12m+1＞m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，∴g（m+2）=﹣5，即（m+2）2﹣（m+2）（m+2）+1=﹣5，不成立；综上可得，当m=3，函数g（x）=4f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．

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