题目

已知函数 ， ． （1） 求 在 上的最小值； （2） 若m为整数，当 时， 恒成立，求m的最大值． 答案： 解：函数的导数 f'(x)=(ex−1)+(x−m)ex+1=(x+1−m)ex ， 由 f'(x)=0 得 x=m−1 ， 由 f'(x)>0 得 x>m−1 ，此时函数 f(x) 为增函数， 由 f'(x)<0 得 x<m−1 ，此时函数 f(x) 为减函数， 即当 x=m−1 时，函数取得极小值， f(m−1)=)=−(em−1−1)+m ，． 若 m−1<0 即 m<1 时，函数 f(x) 在 [0,1] 上是增函数，此时函数的最小值为 f(0)=1 ， 若 m−1>1 即 m>2 时，函数 f(x) 在 [0,1] 上是减函数，此时函数的最小值为 f(1)=(1−m)(e−1)+2 ， 若 0≤m−1≤1 ，即 1≤m≤2 时，函数的最小值为 f(m−1)=)=−(em−1−1)+m 解：当 x>0 时， ex−1>0 ， ∴ 不等式 f(x)>0 ，等价为 (x−m)(ex−1)+x+1>0 ，即 m<x+1ex−1+x   ① 令 g(x)=x+1ex−1+x ，则 g'(x)=ex(ex−x−2)(ex−1)2 ， 函数 h(x)=ex−x−2 在 (0,+∞) 上单调递增，而 h(1)<0 ， h(2)>0 ， ∴h(x) 在 (0,+∞) 上存在唯一的零点， 故 g'(x) 在 (0,+∞) 上存在唯一的零点． 设此零点为a，则 a∈(1,2) ． 当 x∈(0,a) 时， g'(x)<0 ；当 x∈(a,+∞) 时， g'(x)>0 ； ∴g(x) 在 (0,+∞) 上的最小值为 g(a). 由 g'(a)=0 ，可得 ea=a+2 ， ∴g(a)=a+1∈(2,3) ， 由于 ① 式等价于 m<g(a).∴m<2 ， 故整数m的最大值为2

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