题目

已知双曲线C的两个焦点分别为 ，渐近线方程为 （1） 求双曲线C的方程； （2） 若过点 的直线 与双曲线的左支有两个交点，且点 到 的距离小于1，求直线 的倾斜角 的范围． 答案： 由题意设双曲线的方程为 x2a2−y2b2=1(a>0，b>0) ， ∵ 双曲线 C 的两个焦点分别为 F1(−3 ， 0) 、 F2(3 ， 0) ，渐近线方程为 y=±2x ， ∴c=3 ， ba=2 ， ∴a=1 ， b=2 ， ∴ 双曲线 C 的方程 x2−y22=1 ； 设直线方程为 y=k(x+3) ， ∵ 过点 F1(−3 ， 0) 的直线 l 与双曲线 C 的左支有两个交点， ∴k<−2 或 k>2 ． ∵ 点 M(0，1) 到 l 的距离小于1， ∴ |−1+3k|k2+1<1 ， ∴0<k<3 ， ∴ 2<k<3⇒2<tanθ<3 ， ∴ 直线 l 的倾斜角 θ 的范围是 (arctan2 ， π3) ．

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