题目

如图，矩形 ，延长 至点E，使 ，连接 ， ，过点C作 交 的延长线于点F，连接 ． （1） 求证：四边形 是菱形； （2） 连接 交 于点G．当 ， 时，求 的长． 答案： 证明：∵ CF//AE ， ∴ ∠1=∠2 ． 在 △ADE 与 △FDC 中， {∠1=∠2∠ADE=∠FDCDE=DC ， ∴ △ADE≌△FDC ． ∴ AE=CF ． ∴四边形 ACFE 是平行四边形． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ADC=90° ． ∴ CE⊥AF ． ∴四边形 ACFE 是菱形． 解：∵在矩形 ABCD 中， ∴ ∠ABC=∠BCD=90° ， CD=AB=2 ， ∵ ∠ACB=30° ， ∴ AC=2AB=4 ， ∴在 Rt△ABC 中， BC=AC2−AB2=23 ， ∵在菱形 ACFE 中， ∴ EC=2CD=4 ， ∴在 Rt△BCE 中， BE=BC2+EC2=27 ， ∵ GD//BC ， DE=DC ， ∴ GBEB=CDCE=12 ． ∴ BG=12BE=7 ．

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