题目

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c． （1） 如图1，当tan∠PAB=1，c=4 时，a=，b=；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=； （2） 请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论． （3） 如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 ，AB=3，求AF的长． 答案： 【1】4 5【2】4 5【3】7【4】13 解：结论a2+b2=5c2．证明：如图3中，连接MN．∵AM、BN是中线，∴MN∥AB，MN= 12 AB，∴△MPN∽△APB，∴ MPAP = PNPB = 12 ，设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，∴a2=BC2=4BM2=4（MP2+BP2）=4x2+16y2，b2=AC2=4AN2=4（PN2+AP2）=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2 解：如图4中，在△AGE和△FGB中，{∠AGE=∠FGB∠AEG=∠FBGAE=BF ，∴△AGE≌△FGB，∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，∴AP=BF，PE=CF=2BF，即PE∥CF，PE=CF，∴四边形CEPF是平行四边形，∴FP∥CE，∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，∴△ABF是中垂三角形，由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF= 13 AD= 5 ，∴9+AF2=5×（ 5 ）2，∴AF=4．

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