题目

如图，正方形ABCD的边长为 +1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F （1） 求证：△ABF∽△ACE； （2） 求tan∠BAE的值； （3） 在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值． 答案： 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°， ∴△ABF∽△ACE 解：如图1中，作EH⊥AC于H． ∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB， ∴BE＝EB， ∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°， ∴∠HCE＝∠HEC＝45°， ∴HC＝EH， ∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC＝ 2 x， ∵BC＝ 2 +1， ∴x+ 2 x＝ 2 +1， ∴x＝1， 在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°， ∴tan∠EAB＝ BEAB ＝ 12+1 ＝ 2 ﹣1 解：如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小． 作EM⊥BD于M． 易知BM＝EM＝ 22 ， ∵AC＝ AB2+BC2 ＝2+ 2 ， ∴OA＝OC＝OB＝ 12 AC＝ 2+22 ， ∴OH＝OF＝OA•tan∠OAF＝OA•tan∠EAB＝ 2+22 •（ 2 ﹣1）＝ 22 ， ∴HM＝OH+OM＝ 2+22 ， 在Rt△EHM中，EH＝ EM2+HM2 ＝ (22)2+(2+22)2 ＝ 2+2 ． ∴PE+PF的最小值为 2+2

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