题目

如图，抛物线 的焦点为F，过点 作直线l与抛物线交于A、B两点，当直线l与x轴垂直时 长为 . （1） 求抛物线的方程； （2） 若 与 的面积相等，求直线l的方程. 答案： 解：当直线l与x轴垂直时 AB 的长为 42 ， 又 P(2,0) ，取 A(2,22) ，所以 (22)2=2p⋅2 ，解得 p=2 ， 所以抛物线的方程为 y2=4x ； 解：由题意知 S△APF=12|FP|⋅|yA|=12|yA| ， S△BPO=12|OP|⋅|yB|=|yB| ， 因 S△APF=S△BPO ，所以 |yA|=2|yB| ， 当 kAB=0 时，直线 AB 与抛物线不存在两个交点，所以 kAB≠0 ， 故设直线 AB 的方程为 x=my+2 ，代入抛物线方程得 y2−4my−8=0 ， 所以 yA+yB=4m ， yAyB=−8<0 ， ∴yA=−2yB ， 可得 {yA+yB=−yB=4myAyB=−2yB2=−8 ，解得 m=±12 . 所以，直线 AB 的方程为 2x−y−4=0 或 2x+y−4=0 .

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