题目

在平面直角坐标系中， ，点 在第二象限的角平分线上， 、 的垂直平分线交于点 . （1） 求证： ； （2） 设 交 轴于点 ，若 ，求点 的坐标； （3） 作 交 轴于点 ，若 ，求 点的坐标. 答案： 证明：设 ∠BEC=α ，则 ∠OEC=α ⇒∠EOC=90°−α ， ∠EOA=45°+α ， ∵ EO=EA ， ∴ ∠EAO=∠EOA=45°+α ， ΔEOA 中， ∠OEA=90°−2α ， ∴ ∠BEA=∠BEO+∠OEA=2α+(90°−2α)=90° ∴ AE⊥BE 解：结合题干和第一问可知： ΔABE 是等腰 RtΔ （三垂直求坐标）， 过 E 作直线 l//x 轴，作 BP⊥l ， AQ⊥l ⇒ΔEPB≅ΔAQE(AAS) , ⇒E(2,4) , F 在线段 BE 上，面积法求出 F(3,0) （用全等亦可） 解： ΔBOF 中， ∠FBO=∠EBA+∠ABO=45°+15°=60° ， ∠BOF=45° ，∴ ∠BFO=∠EFH=75° ， ∵ EO=EB=EA ， ∠EOA=75° ⇒∠OEA=30° ， 又∵ ∠HEO=∠FEA=90° ，∴ ∠HEF=∠OEA=30° ， ∴ ∠EHF=75° ，∴ EH=EF . 连 FA⇒ΔEHO≅ΔEFA(SAS) ， ∴ ∠HOE=∠FAE ， HO=FA ⇒∠OFA=∠OEA=30° ， ∴ FA=2OA=8 ， ∴ HO=8 ，∴ H(0,8) .

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