题目

设函数 . （1） 讨论 的单调性； （2） 若函数 存在极值，对于任意的 ，存在正实数 ，使得 ，试判断 与 的大小关系并给出证明. 答案： 解： f(x) 的定义域为 (0,+∞) ， f′(x)=4x−ax+(4−a)=−(x+1)(ax−4)x . 当 a≤0 时，则 f′(x)>0 ，所以 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增. 当 a>0 时，则由 f′(x)=0 得， x=4a ， x=−1 （舍去）.当 x∈(0,4a) 时， f′(x)>0 ，当 x∈(4a,+∞) 时， f′(x)<0 .所以 f(x) 在 (0,4a) 上单调递增，在 (4a,+∞) 上单调递减. 综上所述，当 a≤0 时， f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增. 当 a>0 时， f(x) 在 (0,4a) 上单调递增，在 (4a,+∞) 上单调递减. 解：由（Ⅰ）知，当 a>0 时， f(x) 存在极值. f(x1)−f(x2)=4(lnx1−lnx2)−12a(x12−x22)+(4−a)(x1−x2)=4(lnx1−lnx2) −12a(x1+x2)(x1−x2)+(4−a)(x1−x2) . 由题设得 f′(x0)=f(x1)−f(x2)x1−x2=4(lnx1−lnx2)x1−x2−12a(x1+x2)+(4−a) . 又 f′(x1+x22)=8x1+x2−a⋅x1+x22+4−a ，所以 f′(x0)−f′(x1+x22)= 4(lnx1−lnx2)x1−x2−8x1+x2=4x2−x1[(lnx2−lnx1)−2(x2−x1)x2+x1]=4x2−x1 [lnx2x1−2(x2x1−1)x2x1+1] .设 t=x2x1 ，则 t>1 ，则 lnx2x1−2(x2x1−1)x2x1+1=lnt−2(t−1)t+1(t>1) . 令 g(t)=lnt−2(t−1)t+1(t>1) ，则 g′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0 ，所以 g(t) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以 g(t)>g(1)=0 ，故 lnx2x1−2(x2x1−1)x2x1+1>0 . 又因为 x2−x1>0 ，因此 f′(x0)−f′(x1+x22)>0 ，即 f′(x1+x22)<f′(x0) . 又由 f′(x)=4x−ax+(4−a) 知 f′(x) 在 (0,+∞) 上单调递减，所以 x1+x22>x0 ，即 x1+x2>2x0 .

查看本题答案和解析