题目

设 ，若其元素满足 ，则称集合A为集合M的“n元封闭集”. （1） 写出实数集R的一个“二元封闭集”； （2） 证明：正整数集 上不存在“二元封闭集”； （3） 求出正整数集 上的所有“三元封闭集”. 答案： 解：因为 a1=(a1−1)a2 ，所以 a2=a1a1−1 ， 令 a1=3,a2=32 ，则二元封闭集可以为 {3,32} 。 证明：不妨设 a1<a2 ， 若 a1=1, a1+a2>a1a2=a2 ， 若 a1>1,2⩽a1<a2 ， a1+a2<2a2⩽a1a2  ， 则正整数集 N* 上不存在“二元封闭集”． 解：不妨设 a1<a2<a3 ， 则由 a1+a2+a3=a1a2a3 可得， a1=a2+a3a2a3−1   假设 a1=1 ，则 a2=a3+1a3−1 ， 则 a3=3 ， 此时为 {1,2,3} 。 若 a1=2 ，则 a2=a3+22a3−1=12+54a3−2 ， ∵a3⩾4,  则 a2⩽12+514 ， 则不存在． 综上所述，正整数集 N* 上的“三元封闭集”只有一个， {1,2,3} ．

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