题目

已知函数 . （1） 若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求函数 的单调区间； （2） 若对于任意 都有 成立，试求 的取值范围； （3） 记 .当 时，函数 在区间 上有两个零点，求实数 的取值范围． 答案： 解：直线 y=x+2 的斜率为1， 函数 f(x) )的定义域为 (0,+∞) . 因为 f'(x)=−2x2+ax ，所以 f'(1)=−212+a1=−1 ，所以 a=1 ， 所以 f(x)=2x+lnx−2 ， f'(x)=x−2x2 . 由 f'(x)>0 解得 x>2 ；由 f'(x)<0 解得 0<x<2 . 所以 f(x) 得单调增区间是 (2,+∞) ，单调减区间是 (0,2) 解： f′(x)=−2x2+ax=ax−2x2 由 f′(x)>0 解得 x>2a ；由 f′(x)<0 解得 0<x<2a . 所以 f(x) 在区间 (2a,+∞) 上单调递增，在区间 (0,2a) 上单调递减， 所以当 x=2a 时，函数 f(x) 取得最小值 ymin=f(2a) . 因为对于任意 x∈(0,+∞) 都有 f(x)>2(a−1) 成立， 所以 f(2a)>2(a−1) 即可. 则 22a+aln2a−2>2(a−1) ， 即 aln2a>a ，解得 0<a<2e ， 所以 a 得取值范围是 (0,2e) 解：依题意得 g(x)=2x+lnx−2+x−b ，则 g′(x)=x2+x−2x2 ， 由 g'(x)>0 解得 x>1 ，由 g'(x)<0 解得 0<x<1 . 所以函数 g(x) 在区间 [e−1,e] 上有两个零点， 所以 {g(e−1)≥0g(e)≥0g(1)<0 ，解得 1<b≤2e+e−1 . 所以 b 的取值范围是 (1,2e+e−1]

查看本题答案和解析