题目

如图，在直角梯形ABCD中AD∥BC．∠ABC=90°，AB=BC=2，DE=4，CE⊥AD于E，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2 ． （Ⅰ）求证：BE⊥平面AD′C；（Ⅱ）求平面D′AB与平面D′CE的所夹的锐二面角的大小． 答案：证明：（Ⅰ）∵EC⊥AE，EC⊥D′E，AE∩D′E=E， ∴EC⊥平面D′AE，又D′A⊂平面D′AE，∴EC⊥D′A，在△AD′E中，∵AD′=2 3 ，D′E=4，AE=2，∴AD'2+AE2=D′E2，∴D′A⊥AE，又AE∩EC=E，∴D′A⊥平面ABCE，又BE⊂平面ABCE，∴D′A⊥BE，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，CE⊥AD，∴ABCE为正方形，∴BE⊥AC，AC∩D′A=A，∴BE⊥平面AD′C．解：（Ⅱ）取AB，AE，AD′分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知面D′AB的法向量 AE→ =（0，2，0），设平面D′CE的法向量 n→ =（x，y，z）， DE→ =（0，2，﹣2 3 ）， EC→ =（2，0，0），则 {n→⋅DE→=2y−23z=0n→⋅EC→=2x=0 ，取y=3，得 n→ =（0，3， 3 ），cos＜ n→，AE→ ＞= n→⋅AE→|n→|⋅|AE→| = 32 ，∴＜ n→，AE→ ＞= π6 ，∴平面D′AB与平面D′CE的所夹的锐二面角的大小为 π6 ．

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