题目

已知复数 ， . （1） 当 ， ， ， 时，求 ， ， ； （2） 根据（1）的计算结果猜想 与 的关系，并证明该关系的一般性； （3） 结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质（不用证明）. 答案： 由题知 |z1|=|1−i|=1+(−1)2=2 ， |z2|=|1+2i|=12+22=5 ，. z1⋅z2=(1−i)(1+2i)=3+i ，. 所以 |z1⋅z2|=32+12=10 . 猜想 |z1⋅z2|=|z1|⋅|z2| ，. 证明：因为 |z1|=a2+b2 ， |z2|=c2+d2 ，. 所以 |z1|⋅|z2|=a2+b2⋅c2+d2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 ，. 因为 z1⋅z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i ， 所以 |z1⋅z2|=(ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+a2d2+b2d2+b2c2 ， 所以 |z1⋅z2|=|z1|⋅|z2| 成立. |z1z2|=|z1||z2| 或 |z1⋅z2⋅z3|=|z1|⋅|z2|⋅|z3| 或 |z1⋅z2⋅⋯⋅zn|=|z1|⋅|z2|⋅⋯⋅|zn| .

查看本题答案和解析