题目

已知函数 ， x∈. （1） 试判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； （2） 若 ， 求实数的取值范围. 答案： 解：函数f(x)在(−2，2)上单调递增，证明如下：任取x1、x2∈(−2，2)且x1<x2，则x1−x2<0，x1x2<4，所以，f(x1)−f(x2)=x1x12+4−x2x22+4=x1(x22+4)−x2(x12+4)(x12+4)(x22+4)=(x1x22−x12x2)+4(x1−x2)(x12+4)(x22+4)=(x1−x2)(4−x1x2)(x12+4)(x22+4)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在(−2，2)上单调递增. 解：函数f(x)的定义域为(−2，2)，f(−x)=−x(−x)2+4=−xx2+4=−f(x)，所以，函数f(x)为奇函数，由f(2+a)+f(1−2a)>0可得f(a+2)>−f(1−2a)=f(2a−1)，因为函数f(x)在(−2，2)上单调递增，所以，{a+2>2a−1−2<a+2<2−2<1−2a<2，解得−12<a<0.因此，实数a的取值范围是(−12，0).

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