题目

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A． （1） 判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由； （2） 若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积． 答案： 解：MN是⊙O切线．理由：连接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，∴∠BCM=∠BOC，∵∠B=90°，∴∠BOC+∠BCO=90°，∴∠BCM+∠BCO=90°，∴OC⊥MN，∴MN是⊙O切线 解：由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，∴∠AOC=120°，在RT△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，∴BO= 12 OC=2，BC=2 3∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC= 120π×42360 ﹣ 12 ×4×23 = 16π3 ﹣4 3 ．

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