题目

管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为 的清洁棒在弯头内恰好处于 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小， ）. （1） 请用角 表示清洁棒的长L； （2） 若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 答案： 解：如图，过A作 PC 的垂线，垂足为C，在直角 △APC 中， ∠APC=θ ， AC=27cm ，所以 AP=27sinθcm ，同理 BP=8cosθcm ， L=27sinθ+8cosθ,θ∈(0,π2) . 解：设 L(θ)=27sinθ+8cosθ,θ∈(0,π2) ， 则 L'(θ)=−27cosθsin2θ+8sinθcos2θ=8sin3θ−27cos3θsin2θcos2θ ， 令 L'(θ)=0 ，则 tan3θ=278 ，即 tanθ=32 . 设 θ0∈(0,π2) ，且 tanθ0=32 ，则 当 θ∈(0,θ0) 时， tanθ<32,L'(θ)<0 ，所以 L(θ) 单调递减； 当 θ∈(θ0,π2) 时， tanθ>32,L'(θ)>0 ，所以 L(θ) 单调递增， 所以当 θ=θ0 时， L(θ) 取得极小值， 所以 L(θ)min=L(θ0) . 因为 tanθ0=32 ，所以 sinθ0=32cosθ0 ，又 sin2θ0+cos2θ0=1 ， 所以 cos2θ0=413 ，又 θ0∈(0,π2) ， 所以 cosθ0=213 ，所以 sinθ0=313 ， 所以 L(θ0)=27sinθ0+8cosθ0=1313(cm) ， 所以能通过此钢管的铁棒最大长度为 1313cm .

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