题目

如图1，已知抛物线 过点 ． （1） 求抛物线的解析式及其顶点C的坐标； （2） 设点D是x轴上一点，当 时，求点D的坐标； （3） 如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N， 和 的面积分别为 ，求 的最大值． 答案： 解：由题意把点 (1，0)，(−3，0) 代入 y＝﹣x2+bx+c ， 得， {−1+b+c=0−9−3b+c=0 ， 解得 b＝-2，c＝3 ， ∴y＝﹣x2﹣2x+3 ＝-（x+1）2+4， ∴此抛物线解析式为： y＝﹣x2﹣2x+3 ，顶点C的坐标为 （﹣1，4） 解：∵抛物线顶点 C（﹣1，4） ， ∴抛物线对称轴为直线 x＝﹣1 ， 设抛物线对称轴与x轴交于点H， 则 H（﹣1，0） ， 在 RtΔCHO 中， CH＝4，OH＝1 ， ∴tan∠COH＝CHOH＝4 ， ∵∠COH＝∠CAO+∠ACO， ∴当 ∠ACO＝∠CDO 时， tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4， 如图1，当点D在对称轴左侧时， ∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO， ∴ΔAOC∽ΔACD ， ∴ACAD=AOAC ∵AC=CH2+AH2=25， AO=1 ， ∴25AD=125 ， ∴AD=20 ， ∴OD=19 ， ∴D(−19，0)； 当点D在对称轴右侧时，点D关于直线 x＝1 的对称点D'的坐标为 （17，0） ， ∴点D的坐标为 （﹣19，0） 或 （17，0） 解：设 P（a，-a2﹣2a+3） ， 将 P（a，-a2﹣2a+3），A（1，0） 代入 y＝kx+b ， 得， {ak+b=−a2−2a+3k+b=0 ， 解得， k＝-a﹣3，b＝a+3 ， ∴yPA＝（﹣a﹣3）x+a+3 当 x＝0 时， y＝a+3 ， ∴N（0，a+3）， 如图2， ∵SΔBPM＝SΔBPA﹣S四边形BMNO﹣SΔAON，SΔEMN＝SΔEBO﹣S四边形BMNO， ∴SΔBPM﹣SΔEMN ＝SΔBPA﹣SΔEBO﹣SΔAON =12×4×(−a2−2a+3)−12×3×3−12×1×(a+3) =−2a2−92a =−2(a+98)2+8132 ， 由二次函数的性质知，当 a=−98 时， SΔBPM﹣SΔEMN 有最大值 8132 ， ∵ΔBMP 和 ΔEMN 的面积分别为m、n， ∴m−n 的最大值为 8132 ．

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