题目

如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 是 BC 上的一点，过点 D 作 DE⊥AB，垂足为点 E，F 为 AD 的中点，连接 CF、EF. （1） 猜想CF与EF的关系，并说明理由； （2） 如图2，连接BF，若∠AEF＝30°，求∠BFE 的度数. 答案： 解：CF=EF，CF⊥EF，理由如下： ∵Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB=∠B=45°， ∵DE⊥AB， ∴∠BED=∠AED=90°， 在Rt△ACD中，∠ACD=90°，F为AD中点， ∴CF=AF， ∴∠FAC=∠FCA， 在Rt△AED中，∠AED=90°，F为AD中点， ∴EF=AF， ∴∠FAE=∠FEA， ∴CF=EF， ∵∠CFD=∠FAC+∠FCA，∠EFD=∠FAE+∠FEA，∠FAC+∠FAE=∠CAB=45°， ∴∠CFD+∠EFD=90°， 即∠EFC=90°， ∴CF⊥EF； 解：∵AF=EF，∠AEF=30°， ∴∠FAE=30°， ∴∠ADE=60°， 又∵EF=FD ∴△FED是等边三角形， ∴EF=ED， 又∵Rt△AED中，∠BED=90°，∠EBD=45°， ∴BE=ED， ∴BE=EF， ∴∠BFE=(180°-150°)÷2=15°.

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