题目

如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90。得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG． （1） 求证：BE=2CF； （2） 试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．          答案： 证明：如下图：过点F作FH⊥BE于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，∴四边形BCFH是矩形，∴BH=CF，又∵BF=EF，∴BE=2BH，∴BE=2CF. 解：四边形BFGN是菱形，理由如下：证明：∵MN⊥EF，所以∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，∴∠E+∠ABN=90°，∵BF=EF，∴∠E=∠EBF，∴∠EBF+∠ABN=90°，又∵∠EBC=90°，∴∠CBF+∠EBF=90°，∴∠ABN=∠CBF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BAN=∠CBF=90°，在△ABN和△CBF中，∠ABN=∠CBFAB=BC∠NAB=∠BCF，∴△ABN≌△CBF，∴BN=BF，由旋转可得EF=FG=BF，∴BN=FG，∵∠GFM=∠BME=90°，∴BN∥FG，∴四边形BFGN是菱形.

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