题目

已知函数 ． （1） 求 的单调区间； （2） 试求 的零点个数，并证明你的结论． 答案： 解：由函数 f(x)=a+xlnx(a∈R) ，得 f′(x)=12x(lnx+2) ． 另 f′(x)=0 ，得 x=e−2 ．列表如下：   x   (0，e−2)   e−2 (e−2 ， +∞)   f′(x) -  0 +   f(x)  ↘  极小值 ↗ 因此，函数 f(x) 的单调递增区间为 (e−2 ， +∞) ，单调减区间为 (0，e−2) ． 解：由（1）可知， fmin(x)=f(e−2)=a−2e−1 ． (i) 当 a>2e−1 时，由 f(x)⩾f(e−2)=a−2e−1>0 ，得函数 f(x) 的零点个数为0． (ii) 当 a=2e−1 时，因 f(x) 在 (e−2 ， +∞) 上是单调增，在 (0，e−2) 上单调减， 故 x∈(0 ， e−2)∪(e−2 ， +∞) 时， f(x)>f(e−2)=0 ． 此时，函数 f(x) 的零点个数为1． (iii) 当 a<2e−1 时， fmin(x)=a−2e−1<0 ． ① a⩽0 时，因为当 x∈(0 ， e−2] 时， f(xa+xlnx<x⩽0 ， 所以，函数 f(x) 在区间 (0 ， e−2] 上无零点； 另一方面，因为 f(x) 在 [e−2 ， +∞) 单调递增，且 f(e−2)=a−2e−1<0 ， 由 e−2a∈(e−2 ， +∞) ，且 f(e−2a)=a(1−2e−a)>0 ， 此时，函数 f(x) 在 (e−2 ， +∞) 上有且只有一个零点． 所以，当 a⩽0 时，函数 f(x) 零点个数为1． ② 0<a<2e−1 时，因为 f(x) 在 [e−2 ， +∞) 上单调递增，且 f （1） =a>0 ， f(e−2)=a−2e−1<0 ， 所以函数 f(x) 在区间 (e−2 ， +∞) 上有且只有一个零点； 另一方面，因为 f(x) 在 (0 ， e2] 上是单调递减，且 f(e−2)=a−2e−1<0 又 e−4a∈(0，e−2) ，且 f(e−4a)=a−4ae2a>a−4a(2a)2=0 ，（当 x>0 时， ex>x2 成立） 此时，函数 f(x) 在 (0，e2) 上有且只有一个零点． 所以，当 0<a<2e−1 ，函数 f(x) 的零点个数为2． 综上所述，当 a>2e−1 时， f(x) 的零点个数为0； 当 a=2e−1 时，或 a⩽0 时， f(x) 的零点个数为1； 当 0<a<2e−1 时， f(x) 的零点个数为2．

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