题目

在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧． （1） 如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标； （2） 在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标； （3） 如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3） 解：方法一：设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．S△ABP=S△PFA+S△PFB= 12  PF（xF﹣xA）+ 12  PF（xB﹣xF）= 12  PF（xB﹣xA）= 32  PF∴S△ABP= 32 （﹣x2+x+2）=﹣ 32 （x﹣ 12 ）2+ 278当x= 12 时，yP=x2﹣1=﹣ 34 ．∴△ABP面积最大值为 278 ，此时点P坐标为（ 12 ，﹣ 34 ）方法二：过点P作x轴垂线，叫直线AB于F，设P（t，t2﹣1），则F（t，t+1）∴S△ABP= 12 （FY﹣PY）（BX﹣AX），∴S△ABP= 12 （t+1﹣t2+1）（2+1），∴S△ABP=﹣ 32  t2+ 32  t+3，当t= 12 时，S△ABP有最大值，∴S△ABP= 278 解：方法一：设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣ 1k ，0），F（0，1），OE= 1k ，OF=1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF= (1k)2+1  = 1+k2k ．令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．（i）假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON= k2 ．∴EN=OE﹣ON= 1k ﹣ k2 ．∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴ NQOF=ENEF ，即： k21=1k−k21+k2k ，解得：k=± 255 ，∵k＞0，∴k= 255 ．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k= 255 ．(ii)若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，将C（﹣k，0）代入y=kx+1中，可得k=1，k=﹣1（舍去），故存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=1．综上所述，k= 255 或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．方法二：∵y=x2+（k﹣1）x﹣k，∴y=（x+k）（x﹣1），当y=0时，x1=﹣k，x2=1，∴C（﹣k，0），D（1，0），点Q在y=kx+1上，设Q（t，kt+1），O（0，0），∵∠OQC=90°，∴CQ⊥OQ，∴KCQ×KOQ=﹣1，∴ kt+1t×kt+1t+k=−1∴（k2+1）t2+3kt+1=0有唯一解，∴△=（3k）2﹣4（k2+1）=0，∴k1= 255 ，k2=﹣ 255 （k＞0故舍去），∴k= 255

查看本题答案和解析