题目

如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为BC上一点，BE∶CE＝3∶2，连接AE，点P从点A出发，沿射线AB的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PF∥BC交直线AE于点F. （1） 线段AE＝； （2） 设点P的运动时间为t(s)，EF的长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3） 当t为何值时，以F为圆心的⊙F恰好与直线AB、BC都相切？并求此时⊙F的半径． 答案： 【1】5 解：如图1， 当点P在线段AB上运动时，即0≤t≤4， ∵PF∥BE， ∴ APAB=AFAE ，即 t4 ＝ AF5 ， ∴AF＝ 54 t， 则EF＝AE－AF＝5－ 54 t，即y＝5－ 54 t(0≤t≤4)； 如图2， 当点P在射线AB上运动时，即t＞4， 此时，EF＝AF－AE＝ 54 t－5，即y＝ 54 t－5(t＞4)； 综上， y={5−54t(0≤t≤4)54t−5(t>4)  ； 解：以点F为圆心的⊙F恰好与直线AB、BC相切时，PF＝FG，分以下三种情况： ①当t＝0或t＝4时，显然符合条件的⊙F不存在； ②当0＜t＜4时，如解图1，作FG⊥BC于点G， 则FG＝BP＝4－t， ∵PF∥BC， ∴△APF∽△ABE， ∴ PFBE ＝ APAB ，即 PF3 ＝ t4 ， ∴PF＝ 34 t， 由4－t＝ 34 t可得t＝ 167 ， 则此时⊙F的半径PF＝ 127 ； ③当t＞4时，如解图2，同理可得FG＝t－4，PF＝ 34 t， 由t－4＝ 34 t可得t＝16， 则此时⊙F的半径PF＝12.

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