题目

如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC． （1） 求该二次函数的解析式及点M的坐标； （2） 若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围； （3） 点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）． 答案： 解：把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，{−32+3b+c=1c=4   解得 {b=2c=4∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，配方得y=﹣（x﹣1）2+5，∴点M的坐标为（1，5） 解：设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，{3k+b=1b=4  解得 {k=−1b=4∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4 解：连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）∵MG=1，GC=5﹣4=1∴MC= MG2+CG2 = 12+12=2 ，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为（﹣1，5），∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有△PCM∽△BDC，则有 MCCP=CDBD∵BD=1，CD=3，∴CP= MC⋅BDCD = 2×13 = 23 ，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，∵∠PCH=45°，CP= 23∴PH= 23÷2 = 13把x= 13 代入y=﹣x+4，解得y= 113 ，∴P1（ 13，113 ）；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣ 13 代入y=﹣x+4，解得y= 133∴P2（ −13，133 ）；②若有△PCM∽△CDB，则有 MCCP=BDCD∴CP= 2×31 =3 2∴PH=3 2 ÷ 2 =3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（ 13，113 ），P2（ −13，133 ），P3（3，1），P4（﹣3，7）

查看本题答案和解析