题目

如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． （1） 当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标； （2） 当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围； （3） 点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值． 答案： 解：延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，∴BD=62+82=10，当t=5时，OD=5，∴BO=15，∵AD∥NO，∴△ABD∽△NBO，∴ABBN=ADNO=BDBO=23，即6BN=8NO=23，∴BN=9，NO=12，∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）； 解：如图2所示：当点P在边AB上时，BP=6﹣t，∴S=12BP•AD=12（6﹣t）×8=﹣4t+24；②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，∴S=12BP•AB=12（t﹣6）×6=3t﹣18；综上所述：S=-4t+240≤t≤63t-186<t≤14； 解：设点D（-45t，35t）；①当点P在边AB上时，P（-45t﹣8，85t），若PEOE=CDCB时，85t45t+8=68，解得：t=6；若PEOE=CBCD时，85t45t+8=86，解得：t=20（不合题意，舍去）；②当点P在边BC上时，P（﹣14+15t，35t+6），若PEOE=CDBC时，35t+614-15t=68，解得：t=6；若PEOE=BCCD时，35t+614-15t=86，解得：t=19013（不合题意，舍去）；综上所述：当t=6时，△PEO与△BCD相似．

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