题目

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，作DE∥BC，交BO的延长线于点E，且BE平分∠ABD． （1） 求证：四边形BCDE是平行四边形； （2） 若AD＝8，tan∠BDE＝ ， 求AC的长与▱BCDE的周长． 答案： 证明：延长BE交AD于点F，交⊙O于点G，∵BE平分∠ABD，∴∠ABG=∠DBG，∴AG⌢=DG⌢，∵BG是⊙O的直径，∴BG⊥AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴BG∥CD，∵DE∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形； 解：∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD，∵∠CBD和∠CAD所对的都是CD⌢，∴∠CBD=∠CAD，∴∠BDE=∠CAD，∴tan∠BDE=tan∠CAD=34，∵Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=8，tan∠CAD=CDAD=34，∴CD=34AD=34×8=6，∴AC=AD2+CD2=82+62=10，∵AG⌢=DG⌢，BG是⊙O的直径，∴BG⊥AD，AF=DF=12AD=12×8=4，∴∠BFD=90°，∵AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，OB=12AC=12×10=5，∵AF=DF，AO=CO，∴OF是△ACD的中位线，∴OF=12CD=12×6=3，∴BF=OB+OF=5+3=8，∴BD=DF2+BF2=42+82=45，∵BG⊥AD，AF=DF，∴BG是线段AD的垂直平分线，∴AD=BD=45，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴BC=AC2−AB2=102−(45)2=25，∴C▱BCDE=2(BC+CD)=2×(25+6)=45+12，∴AC的长为6，▱BCDE的周长为45+12．

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