题目

（1）如图，在正方形 ABCD 中，∠FAG=45°，请直接写出 DG，BF 与FG 的数量关系，不需要证明．（2）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F分别是BC上两点，∠EAF=45°， ①写出BE，CF，EF之间的数量关系，并证明． ②若将（2）中的△AEF绕点A旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？若不成立，直接写出新的结论，无需证明．（3）如图，△AEF中∠EAF=45°，AG⊥EF于G，且GF=2，GE=3，则 =．答案：解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠ADC=∠ABC=90°， ∴把△AGD绕点A逆时针旋转90°至△ABP，使AD与AB重合， ∴∠BAP=∠DAG，AP=AG， ∵∠BAD=90°，∠FAG=45°， ∴∠BAF+∠DAG=45°， ∴∠PAF=∠FAG=45°， ∵∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠FBP=180°，点F、B、P共线，在△AFG和△AFP中， {AG=AP∠FAG=∠FAPAF=AF ， ∴△AFG≌△AFP（SAS）， ∴PF=FG，即：FG=BF+DG 解：①FC2+BE2=EF2，证明如下： ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠C=∠ABC=45°，将△AFC绕点A顺时针旋转90°得到△AGB， ∴△ACF≌△ABG， ∴BG=FC，AG=AF，∠C=∠ABG=45°，∠FAC=∠GAB， ∴∠GBE=∠ABG+∠ABC=90°， ∴GB2+BE2=GE2，又∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠FAC=45°， ∴∠GAB+∠BAE=45°，即∠GAE=45°，在△AGE和△AFE中， {GA=FA∠EAG=∠EAFAE=AE ， ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GE=EF， ∴FC2+BE2=EF2； ②仍然成立，理由如下：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转使得AB与AD重合，点E的对应点为点G， ∴△ACG≌△ABE， ∴CG=BE，AG=AE，∠ACG=∠ABE=45°，∠BAE=∠CAG， ∴∠GCB=∠ACB+∠ACG=90°，即∠GCF=90°， ∴GC2+CF2=FG2， ∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=90°， ∴∠CAG+∠EAC=90°，又∵∠EAF=45°， ∴∠GAF=90°-∠EAF=45°， ∴∠GAF=∠EAF=45°，在△AFG和△AFE中， {GA=EA∠GAF=∠EAFAF=AF ， ∴△AFG≌△AFE（SAS）， ∴GF=EF， ∴FC2+BE2=EF2；【1】15

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