题目

实验中学学生在学习等腰三角形性质“三线合一”时 （1） （探究发现）如图1，在△ABC中，若AD平分∠BAC，AD⊥BC时，可以得出AB＝AC，D为BC中点，请用所学知识证明此结论. （2） （学以致用）如果Rt△BEF和等腰Rt△ABC有一个公共的顶点B，如图2，若顶点C与顶点F也重合，且∠BFE＝ ∠ACB，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明. （3） （拓展应用）如图3，若顶点C与顶点F不重合，但是∠BFE＝ ∠ACB仍然成立，（学以致用）中的结论还成立吗？证明你的结论. 答案： 证明：如图1中， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵DA平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵AD＝AD， ∴△ADB≌△ADC（ASA）， ∴AB＝AC，BD＝DC. 解：结论：DF＝2BE. 理由：如图2中，延长BE交CA的延长线于K. ∵CE平分∠BCK，CE⊥BK， ∴由（1）中结论可知：CB＝CK，BE＝KE， ∵∠∠BAK＝∠CAD＝∠CEK＝90°， ∴∠ABK+∠K＝90°，∠ACE+∠K＝90°， ∴∠ABK＝∠ACD， ∵AB＝AC， ∴△BAK≌△CAD（ASA）， CD＝BK， ∴CD＝2BE，即DF＝2BE. 解：如图3中，结论不变：DF＝2BE. 理由：作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J. ∵FK∥AC， ∴∠FJB＝∠A＝90°，∠BFK＝∠BCA， ∵∠JBF＝45°， ∴△BJF是等腰直角三角形， ∵∠BFE＝ 12 ACB， ∴∠BFE＝ 12 ∠BFJ， 由（2）可知：DF＝2BE.

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