题目

已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与C，D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD，PF分别交射线DA于点H，G． ①直接写出PG与PF之间的数量关系； ②猜想DF，DG，DP的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），将PF绕点P逆时针旋转90°，交射线DA于点G，判断（1）②中DF，DG，DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请直接写出它们所满足的数量关系式．答案：解：①∵由旋转和矩形的性质得∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∠GPH=∠FPD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠PDF=∠ADP=45°， ∴△HPD为等腰直角三角形， ∴∠DHP=∠PDF=45°，PH=PD 在△HPG和△DPF中， ∵ {∠PHG=∠PDFPH=PD∠GPH=∠FPD ， ∴△HPG≌△DPF（ASA）， ∴PG=PF； ②结论：DG+DF= 2 DP，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF， ∴HD= 2 DP，HG=DF， ∴HD=HG+DG=DF+DG， ∴DG+DF= 2 DP；解：不成立，数量关系式应为：DG-DF= 2 DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H， ∵PF⊥PG， ∴∠GPF=∠HPD=90°， ∴∠GPH=∠FPD， ∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°， ∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形， ∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD= 2 DP， ∴∠GHP=∠FDP=180°-45°=135°，在△HPG和△DPF中， ∵ {∠GPH=∠FPD∠GHP=∠FDPPH=PD ∴△HPG≌△DPF， ∴HG=DF， ∴DH=DG-HG=DG-DF， ∴DG-DF= 2 DP．

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