题目

如图.在平面直角坐标系中.抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于A两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣2）.已知点E（m，0）是线段AB上的动点（点E不与点A，B重合）.过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P.交BC于点F. （1） 求该抛物线的表达式； （2） 当线段EF，PF的长度比为1：2时，请求出m的值； （3） 是否存在这样的m，使得△BEP与△ABC相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由. 答案： 解：抛物线过点C，则其表达式为：y =12 x2+bx﹣2， 将点A坐标代入上式得：0 =12− b﹣2， 解得：b =−32 ， 故：抛物线的表达式为：y =12 x2 −32 x﹣2 解：设直线BC过点C（0，﹣2），设其表达式为：y=kx﹣2， 将点B坐标代入上式得：0=4k﹣2， 解得：k =12 ，则直线BC的表达式为：y =12 x﹣2， 同理直线AC的表达式为：y=﹣2x﹣2 解：设点E的坐标为（m，0），则点F的坐标为（m， 12 m﹣2）， 当线段EF，PF的长度比为1：2时，即：PE=2EF，则： 12 m﹣2 −12 m2 +32 m+2=2（2 −12 m），解得：m=2或4； 直线BC的表达式为：y =12 x﹣2，直线AC的表达式为：y=﹣2x﹣2，则：BC⊥AC，当△BEP与△ABC相似，则∠EPB=∠CAB，或∠EPB=∠ABC， 即：tan∠EPB=tan∠CAB，或tan∠EPB=tan∠ABC， 当tan∠EPB=tan∠CAB时，即： m−412m2−32m−2=2 ， 解得：m=0或4（舍去m=4）， 同理，当tan∠EPB=tan∠ABC，m=3或4（舍去m=4）. 故存在，m的值为0或3.

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