题目

如图，在▱ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE． （1） 求证：四边形ACBE是矩形； （2） 连接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的长． 答案： 证明：∵平行四边形ABCD， ∴AE∥CB，AD=BC， ∵AC⊥AD， ∴∠EAC=∠DAC=90°， 在△ACE和△ACD中， ∠EAC=∠DACAC=AC∠ECA＝∠ACD ∴△ACE≌△ACD（ASA） ∴AE=AD=BC， ∴四边形AEBC是平行四边形， ∵∠EACC=90°， ∴四边形AEBC是矩形. 解：过点O作OF⊥AE于点F， 在Rt△ACD中， ∠ADC=90°-∠ACD=90°-60°=30°， ∵平行四边形ABCD， ∴∠ADC=∠ABC=30°， ∵矩形ABCD， ∴AO=CO=2，∠ACB=90° ∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-30°=60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴AC=2； ∴BC=AE=AD=AB2-AC2=42-22=23 ∵AC⊥AE， ∴OF∥AC， ∴OF是△ACE的中位线， ∴OF=12AC=1，AF=12AE=3； ∴DF=AF+AD=23+3=33 在Rt△OFD中 OD=OF2+DF2=12+332=27. ∴OD的长为27.

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