题目

在平面直角坐标系中，△AOB为直角三角形，点O（0，0），点A（0，3），点B在轴的正半轴上，∠OAB=30°，点P为AB的中点． （1） 如图①，求点P的坐标； （2） 以点O为中心，顺时针旋转△AOP，得到△A1OP1 ， 记旋转角为（），点A，P的对应点分别为A1 ， P1 ． ①如图②，线段OA1交线段AB于点M，线段OP1交线段AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，求点A1的坐标； ②直线OA1交直线AB于点M，直线OP1交线段AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，求的度数（直接写出结果即可）． 答案： 解：如图①，过P作PH⊥OA于H， ∴PH∥OB ∵P是AB的中点 ∴PH是△AOB的中位线 ∴PH=12OB ∵点A的坐标为（0，3）， ∴OA=3 ∵tan∠OAB=OBOA=tan30°=33 ∴OB=3 ∴PH=32 ∵OH=12OA=32 ∴P(32，32)． ①解：如图②，过点A1作A1Q⊥y轴 由题意知，分三种情况求解： 情况一、当OM=ON时， ∵AP=OP， ∴∠AOP=∠OAB=30° 由旋转的性质可知△AOP≌△A1OP1 ∴∠A1OP1=∠AOP=30°，OA1=OA=3 ∵OM=ON， ∴∠OMN=∠ONM=180°−30°2=75° ∵∠OMN=∠OAB+∠AOM， ∴∠AOM=∠OMN−∠OAB=75°−30°=45°． ∵A1Q⊥y轴， ∴∠A1QO=90°， 在Rt△A1OQ中，∠A1OQ=45°， ∵sin∠A1OQ=A1QOA1=22， ∴A1Q=322， ∵OQ=A1Q， ∴OQ=322， ∴A1(322，322)； 情况二、当OM=MN时，∠MON=∠MNO=30° ∵∠MNO=∠OBA+∠NOB>60°≠30° ∴OM=MN不成立； 情况三、当ON=MN时，∠NOM=∠NMO=30° ∠NOM=∠OAB+∠AOM>30°≠30° ∴ON=MN不成立； 综上所述，当△OMN为等腰三角形时，A1的坐标为(322，322)； ②△OMN为等腰三角形时的旋转角为45°或90°或135°．

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