题目

如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为上的动点（不与端点重合），连接PD． （1） 求证：∠APD＝∠BPD； （2） 利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI＝180°； （3） 在（2）的条件下，连接IC、IE，若∠APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 答案： 证明：∵直径CD⊥弦AB，∴AD⌢=BD⌢，∴∠APD=∠BPD； 解：如图，作∠BAP的平分线，交PD于I，证：∵AI平分∠BAP，∴∠PAI=∠BAI，∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI，∵AD⌢=BD⌢，∴∠DAB=∠APD，∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI，∴∠AID=∠DAI，∵∠AIP+∠DAI=180°，∴∠AIP+∠DAI=180°； 解：如图2，连接BI，AC，OA，OB，∵AI平分∠BAP，PD平分∠APB，∴BI平分∠ABP，∠BAI=12∠BAP，∴∠ABI=12∠ABP，∵∠APB=60°，∴∠PAB+∠PBA=120°，∴∠BAI+∠ABI=12（∠BAP+∠ABP）=60°，∴∠AIB=120°，∴点I的运动轨迹是AB⌢，∴DI=DA，∵∠AOB=2∠APB=120°，∵AD⊥AB，∴AD⌢=BD⌢，∴∠AOB=∠BOD=60°，∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴AD=AO，∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°，∵CD⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠CAD，∵∠ADC=∠ADE，∴△ADE∽△CDA，∴ADCD=DEAD，∴AD2=DE•CD，∵DI′=DI=AD，∴DI2=DE•CD，∵∠I′DE是公共角，∴△DIE∽△DCI，∴ICIE=CDDI=2．

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