题目

如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （1） 求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2） 当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值； （3） 当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值； （4） 当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值． 答案： 解：∵抛物线过A、C两点， ∴代入抛物线解析式可得 {−1−b+c=0c=3 ，解得 {b=2c=3 ， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0可得，﹣x2+2x+3＝0，解x1＝﹣1，x2＝3， ∵B点在A点右侧， ∴B点坐标为（3，0）， 设直线BC解析式为y＝kx+s， 把B、C坐标代入可得 {3k+s=0s=3 ，解得 {k=−1s=3 ， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+3； 解：∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m， ∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3）， ∵P在线段OB上运动， ∴M点在N点上方， ∴MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣ 32 ）2+ 94 ， ∴当m＝ 32 时，MN有最大值，MN的最大值为 94 ； 解：∵PM⊥x轴， ∴当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN， ∴M点纵坐标为3， ∴﹣m2+2m+3＝3，解得m＝0或m＝2， 当m＝0时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴m＝2； 解：∵PM⊥x轴， ∴MN∥OC， 当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC＝MN， 当点P在线段OB上时，则有MN＝﹣m2+3m， ∴﹣m2+3m＝3，此方程无实数根， 当点P不在线段OB上时，则有MN＝﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m， ∴m2﹣3m＝3，解得m＝ 3+212 或m＝ 3−212 ， 综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为 3+212 或 3−212 ．

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