题目

综合与探究：射线 是 内部的一条射线，若 ，则我们称射线 是射线 的伴随线．例如，如图1， ， ，则 ，称射线 是射线 的伴随线；同时，由于 ，称射线 是射线 的伴随线． 完成下列任务： （1） 如图2， ，射线 是射线 的伴随线，则 ，若 的度数是 ，射线 是射线 的伴随线，射线 是 的平分线，则 的度数是．（用含 的代数式表示） （2） 如图3，如 ，射线 与射线 重合，并绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，射线 与射线 重合，并绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，当射线 与射线 重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻 （秒），使得 的度数是 ，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； ②当 为多少秒时，射线 ， ， 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．请直接写出结果． 答案： 【1】50°【2】x6 解：射线 OD 与 OA 重合时， t=18010=18 （秒） ①当 ∠COD 的度数是 20° 时，有两种可能： 若OC与OD在相遇之前，如图5： 则 180−10t−6t=20 ， ∴ t=10 ， 若OC与OD在相遇之后，如图6： 则 10t+6t−180=20 ， ∴ t=12.5 ； 所以，当 t=10 秒或12.5秒时， ∠COD 的度数是 20° ． ②（Ⅰ）OC、OD未相遇之前： ∠AOC=6°t ， ∠AOD=180°−∠BOD=180°−10°t ， ∠COD=∠AOD−∠AOC=180°−10°t−6°t=180°−16°t ， 当OC是OA的伴随线时，如图7： ∠AOC=13∠AOD ， 即： 6°t=13(180°−10°t) ，解得 t=457 ； 当OC是OD的伴随线时，如图8： ∠COD=13∠AOD 即： 180°−16°t=13(180°−10°t) ，解得 t=18019 ； （Ⅱ）OC、OD相遇之后： ∠AOC=6°t ， ∠AOD=180°−∠BOD=180°−10°t ， ∠COD=∠AOC−∠AOD=6°t−(180°−10°t)=16°t−180° 当OD是OC的伴随线时，9如图： ∠COD=13∠AOC ， 即： ∠BOC=12∠AOC=x2 16°t−180=13×6°t ，解得 t=907 ； 当OD是OA的伴随线时，如图10： ∠AOD=13∠AOC ， 即： 180°−10°t=13×6°t ，解得 t=15 ； 综上：当 t=457 ， 18019 ， 907 ，15秒时， OC 、 OD 、 OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．

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