题目

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，作△BCD的外接圆⊙O，CE是⊙O的直径，且CE与AB交于点G，DF∥EC交AC于点F． （1） 求证：DF为⊙O的切线； （2） 若 ，AC＝5，求⊙O的半径长． 答案： 证明：连接OD， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠B=∠A=45°， ∴∠DOC=2∠B=90°， ∴OD⊥CE， ∵DF∥EC， ∴OD⊥DF， ∴DF为⊙O的切线； 解：由（1）知，∠DOC=90°，OD=OC， ∴∠DCO=45°， ∵DF∥EC， ∴∠CDF=∠DCO=45°， ∴∠CDF=∠A， ∵∠ACD=∠DCF， ∴△ACD∽△DCF， ∴ CDCF=ACCD ，即CD2=AC•CF， ∵ ADDG=23 ，DF∥EC， ∴AF：CF=2：3， ∵AC=5， ∴CF=3，AC=5， ∴CD= 15 ， ∵CO2+OD2=CD2， ∴OC= 302 ， ∴⊙O的半径长为 302 ．

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