题目

如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ． （1） 求BD的长； （2） 点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF， ①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积； ②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由． 答案： 解：连接AC，设AC与BD的交点为O，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB， ∵∠BAD = 120°， ∴∠CAB=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BO=AB▪sin60°=6×32=33， ∴BD=2BO=63； 解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=6， 由（1）得：BD=63； 菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6， ∴MN⊥BC， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°， ∴∠EBN=30°； ∴EN=12BE ∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=MN⋅BC， ∴MN=33， 设BE=x，则EN=12x， ∴EM=MN-EN=33−12x，  ∵S菱形ABCD= AD▪MN=6×33=183， ∴S△ABD= 12S菱形ABCD=93， ∵BE=3DF， ∴DF=BE3=33x， ∴S△DEF=12DF ▪EM=12⋅33x(33−12x) =−312x2+32x， 记四边形ABEF的面积为s， ∴s= S△ABD - S△DEF =93-（−312x2+32x）=312(x−33)2+2734， ∵点E在BD上，且不在端点，∴0<BE<BD，即0<x<63； ①当CE⊥AB时， ∵OB⊥AC， ∴点E是△ABC重心， ∴BE=CE=23BO=23×33=23， 此时s=312(23−33)2+2734 =73， ∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为73； ②作CH⊥AD于H，如图， ∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上， ∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值； 在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD， ∵∠BAD=120°， ∴∠ADC=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AH=DH=3， ∴CH=33， ∵s=312(x−33)2+2734， ∴当x=33，即BE=33时， s达到最小值， ∵BE=3DF， ∴DF=3， 此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置， ∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值， ∴CE+3CF的值达到最小， 其最小值为CO+3CH=3+3×33=12．

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